Desigualdades lineales

Desigualdades lineales

Desigualdades lineales

  • Relaciones para desigualdades e intervalos de notación
  • Solución de desigualdades lineales
  • Aplicaciones

Ahora se volverá al problema de cómo resolver desigualdades lineales con una variable, tales como

3(* – 5) > 5(x + 7) – 10 y – 4 < 3 — 2x < 1

Las formas matemáticas anteriores implican la desigualdad, o relación de orden; es
decir, relaciones “menor que” y “mayor que”. Así como se usan = para reemplazar las
palabras “es igual a”, se usan los símbolos de desigualdad < y > para representar “es
menor que” y “es mayor que”, respectivamente.
Tal vez salte a la vista que

2 < 4 5 > 0 2 5 0 0 0 > 1

son verdaderas, pero podría no ser tan evidente que

– 4 < – 2 0 > – 5 – 2 5 0 0 0 < – 1

Para establecer una relación de desigualdad precisa, de manera que pueda interpretarse
con respecto de todos los números reales, se necesita una definición precisa del concepto.

DEFINICIÓN 1

a < b y b> a

Para los números reales a y b, se dice que a es menor que b o b es mayor que a
y se escribe

a < b o b > a

si existe un número real positivo p tal que a + p = b (o de manera equivalente, b
– a = p ).

Ciertamente se espera que si un número positivo se suma a cualquier número real,
la suma sea mayor que la original. Esto es en esencia lo que la definición establece.
Cuando se escribe

a ^ b

significa que a < b o a = b y se dice que a es menor que o igual a b. Cuando se escribe

a > b

significa que a > b o a = b y se dice que a es mayor que o igual a b.
Los símbolos de desigualdad < y > tienen una interpretación geométrica muy
clara sobre la recta numérica real. Sí a < b, entonces a está a la izquierda de b\ si c > d,
entonces c está a la derecha de d (véase la figura 1).

Es un hecho interesante y útil que para dos números reales a y b, sean a < b o a >
b o a = b. Esto se conoce como propiedad de tricotomía de los números reales.
La doble desigualdad a < x ^ b significa que x > a y x < b: es decir, x está entre
a y b, incluyendo b pero excluyendo a. Al conjunto de todos los números reales x que
satisfacen la desigualdad a < x ^ b se le conoce como intervalo y se representa por (a,
tí]. De esta manera,

Desigualdades lineales

* En general, {x|P(x)} representa el conjunto de todas las * para las cuales el enunciado P(x) es verdadero:
Para expresar este conjunto verbalmente, la barra vertical se lee como “tal que”.

El número a se conoce como punto extremo izquierdo del intervalo, y el símbolo “(”
indica que a no se incluye en el intervalo. El número b se conoce como punto extremo
derecho del intervalo, y el símbolo “]” indica que b se incluye en el intervalo. En la
tabla 1 se indican otros tipos de intervalos para los números reales.

Desigualdades lineales

Observe que el símbolo que se lee “infinito”, usado en la tabla 1 no es un
número. Cuando se escribe [b, <*), se refiere simplemente al intervalo que comienza en
b y continúa indefinidamente a la derecha. Nunca se escribiría [Í),“ ] o H i S c o , ya
que * no se puede usar como punto extremo de un intervalo. El intervalo ( —<*, * )
representa el conjunto de los números reales R, ya que su gráfica es toda la recta numérica real.

 

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