Sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones

Sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones

Sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones

  • Sistemas de ecuaciones
  • Sustitución
  • Aplicaciones

En la sección anterior, se resolvieron problemas con literales introduciendo una sola
variable para representar una de las incógnitas, y después se intentó representar a todas
las incógnitas en términos de esta variable.

En ciertos problemas con literales, es más
conveniente introducir diversas variables, encontrar las ecuaciones que relacionan esas
variables, y después resolver el sistema de ecuaciones resultante. Por ejemplo, si un
tablero de 12 pies se corta en dos partes de manera que una de ellas sea 2 pies más
grande que la otra, se tiene entonces

x = Longitud de la pieza más grande
y = Longitud de la pieza más corta

se observa que x y y deben satisfacer las ecuaciones siguientes:

x + y = 12
x – y = 2

Se tiene ahora un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables. Así, se puede
resolver este problema al encontrar todos los pares de números x y y que satisfagan
ambas ecuaciones.
En general, se tiene interés en resolver sistemas lineales del tipo:

ax + by — h Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
ex + dy = k

d o n d ex y y son variables y a, b, c, d , h y k son constantes reales. Un par de números jc
= x 0 y y = y o es una solución de este sistema si cada ecuación se satisface por el par. El
conjunto de todos esos pares de números se denomina conjunto solución para el sistema. Resolver un sistema es encontrar su conjunto solución. En esta sección, se restringirá nuestro análisis a técnicas de solución simples para sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos variables. En el capítulo 8 se analizarán sistemas más grandes y métodos de solución más sofisticados.

Para resolver un sistema por sustitución, primero se escoge una de las dos ecuaciones
de un sistema y se despeja una variable en términos de la o tía. (Si es posible, elija una
que no contenga fracciones.) Después sustituya el resultado en la otra ecuación y resuelva la ecuación lineal resultante con una variable. Por último, se sustituye de nuevo
este resultado en la expresión obtenida en el prier paso para encontrar la segunda
variable. Se ilustrará este proceso al regresar al problema del tablero enunciado al inicio de la sección.

Solución de un sistema por sustitución

Resuelva el problema del tablero al resolver el sistema.

x + y = 12
x — y — 2

Despeje de cualquier ecuación una de las variables y sustituya la en la otra ecuación
Se elige despejar y de la primera ecuación en términos de x:

Sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones

Ahora, se remplaza x con 7 en la ecuación^ = 12 – jc:

y = 12 – x
y = 1 2-7
>’ = 5

 

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