Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades

Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades

Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades

  • Valoor absoluto y distancia
  • Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades
  • Valores absolutos y radicales

En esta sección se analiza la resolución de ecuaciones con valor absoluto y desigualdades.

Comenzamos con una definición geométrica del valor absoluto. Si a es la coordenada
de un punto sobre la recta numérica real, entonces la distancia desde el origen a a se
representa por |a| y se conoce como valor absoluto de a. Así, |5| = 5, como el punto
con coordenada 5 está a 5 unidades del origen, y | – 6¡ = 6, ya que el punto con coordenada —6 está a 6 unidades del origen (véase la figura 1).

Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades

Simbólicamente, y de manera más formal, se define el valor absoluto como sigue:

DEFINICION 1 Valor absoluto

Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades

Ambas definiciones, la geométrica y la no geométrica, del valor absoluto son útiles, como se verá en seguida. Recuerde:

DEFINICIÓN 2 Distancia entre los puntos A y B

Sean A y B dos puntos sobre una recta numérica real con coordenadas a y b,
respectivamente. La distancia entre A y B está dada por

d(A, B) = \b — a\

Esta distancia también se conoce como longitud del segmento de la recta que
une a A con B

Distancia entre puntos sobre una recta numérica

Encuentre la distancia entre los puntos A y B con coordenadas a y b, respectivamente,
como se indica
(A) a = 4, b = 9 (B) a = 9, b = 4 (C) a = 0, b = 6

Distancia entre puntos sobre una recta numérica

Por lo tanto, al calcular la distancia entre dos puntos sobre la recta numérica real, no
importa cómo se marquen los dos puntos (el punto A puede estar a la izquierda o a la
derecha del punto B). Observe también que si A está en el origen O, entonces

d (0 , B) = \b ~ 0| = ¡A

Use la siguiente recta numérica para encontrar las distancias indicadas.

Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades

La relación entre álgebra y geometría es una herramienta importante cuando se trabaja
con ecuaciones y desigualdades que implican valor absoluto. Por ejemplo, el enunciado
algebraico.

\x – 11 = 2

se puede interpretar geométrica mente como una declaración de que la distancia de x a
1 es 2

Solución de problemas con valor absoluto de manera geométrica

Interprete geométrica mente, resuelva y gratifique. Escriba las soluciones tanto en notación de desigualdad como de intervalo, donde sea adecuado.

(A) \x – 3| = 5            (B) |jc – 3| < 5
(C) 0 < |* – 3| < 5     (D) ¡x – 3| > 5

Soluciones: (A) Geométrica mente, jx — 3| representa la distancia entre x y 3. Así, en |x – 3| = 5, x
es un número cuya distancia desde 3 es 5. Es decir,

x = 3 ± 5 = —2 o 8

El conjunto solución es {—2, 8 }.

(B) Geométrica mente, en \x – 3| < 5, x es un número cuya distancia desde 3 es menor
que 5; es decir,

—2 < jc < 8

El conjunto solución es ( —2, 8).

(C) La forma 0 < \x — 3| < 5 se encuentra con frecuencia en cálculo y en matemáticas
más avanzadas. Geométrica mente, x es un número cuya distancia desde 3 es menor
que 5, pero x no puede ser igual a 3. De esta manera

—2 < x < 8         x * 3      o      ( —2, 3) U (3, 8)

(D) Geométrica mente en \x – 3| > 5, x es un número cuya distancia desde 3 es mayor
que 5; es decir,
x < – 2           o x > 8     o        (-=o, – 2 ) U (8, =c)

 

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